函数、极限、连续

函数

  1. sgn符号函数、[x]取整函数
  2. 复合函数：能否复合要看内层值域与外层定义域的交集是否为空易错点：复合后定义域应该取交集
    1. 易错点：f(x+1)定义域为[0,a]指的是x的范围，此时f(x)的定义域是x_2 = x_1+1的范围即[1,a+1]例题：
  3. 反函数：
    1. 单调函数一定有反函数，反之不一定
    2. 有无反函数看：对于任意y∈值域，有唯一的一个x与之对应
    3. 反函数图像关系
    4. 反函数复合关系
    5. 双曲正弦函数及其反函数令t=e^x
      1. 应该立马想到双曲正弦函数及其反函数均是奇函数
  4. 初等函数：初等函数的复合仍是初等函数
  5. 函数性质： 单调性、奇偶性、周期性、有界性
    1. 重点：奇偶性补充奇偶性补充
    2. 周期函数的导函数是周期函数、易错点：周期函数的原函数不一定是周期函数
    3. 重点：周期性补充
    4. 重点：有界性补充

极限

题型：

  1. 极限的概念、性质及其存在准则
  2. 求极限
  3. 无穷小量的阶的比较
  1. 数列极限的定义（记忆）数列极限的定义
    1. 易错点：数列有界性与其前面项没有关系
    2. 重点：局部有界性
  2. 数列极限：
    1. 加绝对值减少收敛性
    2. 数列极限趋向于0 == 数列极限绝对值趋于0
  3. 函数极限的定义（记忆）
    1. ±∞极限均存在且相等才能 ➡ ∞极限存在
    2. 函数极限存在,数列极限一定存在
  4. 函数极限需要分左右极限的情况:
    1. 分段函数分界点
    2. e型
    3. arctan型
  5. 补充：1 + 2^2 + 3^2 + ... +n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
  6. 易错点：x_n无单调性时，往往构造|x_n-A|<a|x_(n-1)-A|的递推式其中a<1,多次递推后得到极限A易错点-无单调性
  1. 极限的性质:
    1. 有界性有界性
    2. 保号性保号性
      1. 速记: 极限A大于0 ➡ 数列n充分大时/去心邻域f(x)大于0
      2. 速记: 数列n充分大时/去心邻域f(x)大于等于或大于0 ➡ 极限A大于等于0
      3. 保序性：保序性
  2. 极限存在准则:
    1. 夹逼准则
    2. 单调有界准则
  3. 常用无穷大量比较常用无穷大量比较
  4. 无穷大量与无界变量关系无穷大量与无界变量关系

常用求极限的方法(8种)：

  1. 基本极限利用基本极限求极限
  2. 等价无穷小代换等价无穷小代换
  3. 有理运算法则有理运算法则
  4. 洛必达法则洛必达法则
    1. n阶可导，只能洛到出现n-1阶导数
    2. n阶连续可导，可以洛到出现n阶导数
  5. 泰勒公式泰勒公式
    1. 复合函数泰勒，若分母为n阶，则分子f(g(x))，内外fg都要分别展开到n阶！然后复合。
    2. 复合函数非加减形式的可直接等价代换
  6. 夹逼定理
  7. 单调有界准则
    1. 对于a_(n+1) = F(a_n),即后一项是前一项的函数这种形式，数列化函数f(x)，若f(x)⬆，则数列有单调性(具体再判断)；若f(x)⬇，则数列无单调性。
  8. 定积分定义

无穷小量阶的比较：⑴洛 ⑵等价代换 ⑶泰勒

连续性

题型：

  1. 函数连续性及间断点的性质
  2. 闭区间上连续函数性质的证明
  1. 连续性：左极限等于右极限等于函数值
  2. 间断点的分类：间断点
  3. 连续函数：连续函数
  4. 闭区间上连续函数的性质（最值定理、有界性定理、介值定理、零点定理）：闭区间上连续函数的性质

导数和微分

题型：

  1. 导数定义
  2. 复合函数、隐函数、参数方程求导
  3. 高阶导数
  4. 导数应用
  1. 导数的概念导数
  2. 复合函数、隐函数、参数方程求导复合函数、隐函数、参数方程求导
    1. 可导 ↔ 左右导数均存在且相等
    2. 间断点的导数要用定义求
  3. 微分的概念微分
  4. 连续、可导、可微连续、可导、可微的关系
  1. 导数公式导数公式
  2. 求导法则求导法则
    • 复合函数内外均可导，则复合函数可导
    • 求导奇偶性互换
  3. 隐函数求导法隐函数求导
  4. 反函数求导法反函数求导
  5. 参数方程求导法参数方程求导
  6. 对数求导法：幂指函数、连乘连除函数（化乘除为加减）
  7. 常用高阶导数公式常用高阶导数公式
  8. 易错点：高阶导数的零点/驻点/拐点个数函数f(x)有n个不同的零点，那么根据罗尔定理（相同值点间至少一个点导数为0），f’(x)至少有n-1个不同的零点，依此类推。
    1. 往往与n阶函数最多有n个零点联系起来
  9. 易错点：带参数的方程实根技巧-参数分离带参数的方程实根技巧-参数分离
    1. 此处若倒过来，以x^2为底,则x不可等于0，需要分段考虑，因此往往放上面。
  10. 易错点：不等式比较可先化简，将一边复杂一边简单的不等式化为两边一般简单的式子不等式比较化简

微分中值定理 & 导数应用

题型：

  1. 求极限
  2. 函数极值和最值，曲线的凹凸性和拐点
  3. 曲线的渐近线
  4. 方程的根
  5. 不等式的证明
  6. 中值定理证明题

  1. 费马引理费马引理

  2. 罗尔定理罗尔定理

  3. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理

  4. 柯西中值定理柯西中值定理

  5. 泰勒公式泰勒公式

    • 局部（极限、极值）用皮亚诺型、全局（最值、不等式）用拉格朗日型
    • 基本泰勒公式基本泰勒公式

  6. 驻点：导数等于0的点

  7. 可能极值点：驻点或导数不存在的点。

  8. 判断极值点判断极值点

  9. 判断拐点：极值点的定理中统统抬高一阶即可

  10. 渐近线渐近线+

  11. 弧微分和曲率弧微分和曲率

  1. 易错点：微分中值定理证明题（f’(ξ)一定出现，只出现f(ξ)一般是零点定理）：
    1. 重点：型1
    2. 重点：型2
      1. 两个参数均要在导数里，非则算第一种
      2. 第一种先参数分离，再看拉格朗日还是柯西
      3. 第二种复杂的先参数分离，必要时结合型1找原函数，再找中间点（可先假设中间点）
    3. 重点：型3
      1. 易错点：左边代f(0)、f(1)这种具体值的时候右边的ξ记得带下标，不一样！！！

不定积分

题型：

  1. 不定积分的概念和性质
  2. 不定积分基本公式
  3. 三种主要积分法
  4. 三类常见可积函数的积分

  1. 原函数存在定理 原函数存在定理

    • 有第二类间断点的函数可能存在原函数

  2. 不定积分基本公式 不定积分基本公式

  3. 常用积分三角代换常用积分三角代换

  4. 出现两类不同函数相乘的积分一般用分部积分法

  5. 三类常见可积函数积分法：

    1. 有理函数积分
      1. 部分分式法
      2. 加减项拆、凑微分降幂
        • 注意有几项由分母因子几重决定，分子次数由分母-1决定。如例子中因子x-1则分子0次幂，但两重有两项
    2. 三角有理函数积分三角有理函数积分
      • 万能公式化三角有理函数积分为有理函数积分
    3. 简单无理函数积分：令t为无理部分
      • 化为有理函数积分

  6. 分段函数积分：例子：

    1. 方法1：用C1、C2，然后分段点调整常数使之加同一个常数C(原函数一定连续，不一定可导)
    2. 方法2：用变上限积分求，不要忘+常数C

定积分与反常积分

定积分

题型：

  1. 定积分的概念、性质、几何意义
  2. 变上限积分
  3. 定积分的计算

  1. 定积分存在的充分条件定积分存在的充分条件

  2. 定积分存在的必要条件：可积必有界

  3. 定积分的性质

    1. 不等式性质定积分的不等式性质
    2. 积分中值定理积分中值定理

  4. 变上限积分定理

    1. 变上限积分不等同于原函数，具体如下：

  5. 定积分计算方法(略去简单方法)：定积分计算特殊公式

反常积分

题型：

  1. 反常积分的敛散性
  2. 反常积分的计算
  1. 无穷区间上反常积分的敛散性判断：无穷区间上反常积分的敛散性判断
  2. 无界函数的反常积分的敛散性判断：无界函数的反常积分的敛散性判断

定积分应用

题型：

  1. 几何应用
  2. 物理应用

  1. 平面图形面积 平面图形面积

  2. 旋转体体积 旋转体体积

    • 复杂问题用二重积分思想

  3. 曲线弧长 弧长

  4. 旋转体侧面积 旋转体侧面积

常微分方程

题型：

  1. 微分方程求解
  2. 微分方程综合题
  3. 微分方程应用题

  1. 可分离变量的方程

  2. 齐次方程

  3. 线性方程 线性方程

  4. 伯努利方程 伯努利方程

  5. 全微分方程 全微分方程

  6. 可降阶方程 ：

    1. 缺y型
    2. 缺x型

  7. 高阶线性微分方程

    1. 解的结构高阶线性微分方程

  8. 常系数齐次线性微分方程

    1. 通解常系数齐次线性微分方程通解

  9. 常系数非齐次线性微分方程

    1. 特解和通解常系数非齐次线性微分方程的解

  10. 欧拉方程：

  11. 易错点：不符合上面任何一种类型的尝试xy对调(y’=1/x’)或变量代换

多元微分学

重极限、连续、偏导数、全微分

题型：

  1. 连续、偏导数、全微分的概念及其联系
  1. 多元函数的极限
    1. 初步判断(上下趋于0)：分母次幂高∞、分母次幂低0、同次一般不存在
    2. 初步判断完，存在用夹逼，不存在则找一条路径
  2. 多元函数的连续性性质多元函数的连续性性质
  3. 混合偏导数定理
  4. 全微分
    1. 可微的必要条件![可微的必要条件](https://cdn.j sdelivr.net/gh/chen0495/newpicgo/img2022/202209071200126.png)
      1. 用定义判定可微性用定义判定可微性
    2. 可微的充分条件可微的充分条件
  5. 连续、可偏导、可微间的关系：连续、可偏导、可微间的关系

多元函数微分法

题型：

  1. 复合函数的偏导数和全微分
  2. 隐函数的偏导数和全微分

  1. 隐函数微分法

    1. 公式法
    2. 两边同时微分法
    3. 中间变量法

  2. 具体点的偏导可以先代后求

多元函数的极值和最值

题型：

  1. 求极值(无条件)
  2. 求最大最小值
  3. 最大最小值应用题

  1. 无约束极值（曲面上极值）：

    1. 极值的必要条件极值的必要条件
    2. 极值的充分条件极值的充分条件

  2. 条件极值（曲线上极值）：

    1. 拉格朗日乘数法（找出可能存在的极值点）：拉格朗日乘数法
    2. 化有条件为无条件

  3. 最大最小值多元函数的最大最小值

二重积分

题型：

  1. 累次积分交换次序及计算
  2. 二重积分计算
  1. 二重积分的性质二重积分的性质
  2. 二重积分计算：
    1. 先积谁、平行谁
    2. 极坐标计算极坐标计算二重积分
    3. 对称性和奇偶性计算对称性和奇偶性计算
    4. 轮换对称性计算轮换对称性计算
  3. 二重积分洛必达二重积分洛必达法则
  4. 易错点：二重积分算的很麻烦就要看是不是算错了，不要继续算了
  5. 易错点：极坐标rdr，不要算昏头了！！！
  6. 椭圆域积分：
    1. 简单直接换元
    2. 复杂雅可比行列式计算：雅可比行列式

无穷级数

常数项级数

题型：常数项级数敛散性的判定

  1. 级数的性质级数的性质
    1. 括号增加收敛性，绝对值增加发散性
  2. 级数的审敛准则：
    1. 正项级数：
      1. 比较判别法比较判别法
      2. 比较法极限形式比较法极限形式
      3. 比值法和根值法比值法和根值法
      4. 积分判别法积分判别法
        1. 注意条件：单调减、非负、连续
        2. 注意和由级数前后项关系函数推单调性区分开
      5. a^n n! n^n用3，其它用1、2
    2. 交错级数：
      1. 莱布尼兹准则（倒过来不对）莱布尼兹准则
    3. 任意项级数： 绝对收敛和条件收敛
  3. 易错点：只有正项级数有比较判别法
  4. 重点：正项级数随意取项（顺序不变），敛散性同
  5. 易错点：和函数也可与微分方程结合起来
  6. 易错点：和式求导注意下标

幂级数

题型：

  1. 求收敛半径、收敛区间及收敛域
  2. 将函数展开为幂级数
  3. 级数求和
  1. 阿贝尔定理阿贝尔定理
  2. 定理2-收敛域
  3. 收敛半径求收敛半径
  4. 幂级数的性质
    1. 有理运算性质有理运算性质
    2. 分析性质分析性质
  5. 函数的幂级数展开函数的幂级数展开
    1. 几个常见的展开式几个常见的展开式
  6. 幂级数一定要化成t^n t=f(x)的形式
  7. 函数展开为幂级数
    1. 注意求导后再展开的式子，积分回来用变上限积分（方便消常数）
    2. 当计算和函数时x的范围可能与幂级数收敛域不同，此时因将幂级数收敛域补全（特殊点特殊计算）例-特殊点特殊计算
  8. 易错点：区分收敛域和收敛区间
  9. 易错点：条件收敛也是收敛，要算进收敛域

傅里叶级数

题型：

  1. 狄利克雷收敛定理
  2. 将函数展开为傅里叶级数
  1. 傅里叶系数与傅里叶级数傅里叶系数与傅里叶级数
  2. 狄利克雷收敛定理狄利克雷收敛定理
  3. 周期为2Π的函数的傅里叶展开周期为2Π的函数的傅里叶展开
  4. 周期为2l的函数的傅里叶展开周期为2l的函数的傅里叶展开
  5. 延拓后用延拓后的区间端点验证

空间解析几何

题型：

  1. 建立平面和直线方程
  2. 建立柱面和旋转面方程
  1. 数量积数量积
  2. 向量积向量积
  3. 混合积混合积
  4. 平面方程： 一般式、点法式、截距式平面方程
  5. 直线方程：一般式、对称式（点向式 ）、参数式直线方程
  6. 平面与直线的位置关系：法向量
  7. 点到面的距离和点到直线的距离
  8. 曲面方程：曲面方程
  9. 曲线方程：曲线方程
  10. 常见曲面：
    1. 旋转面旋转面
      • 绕谁谁不变、其它方写成除谁以外的平方和
      • 非坐标面上的用x‘，y’，z‘建立联系
    2. 柱面柱面
      • 消z不是z=0
  11. 二次曲面二次曲面
    • 常考：圆锥、椭球、球面、旋转抛物面
  12. 空间曲线投影空间曲线投影
    • F/G一方没有z则直接用没有z的，然后z=0联立
  13. 曲线的法向量和曲线的切线
  14. 易错点：注意y轴正负方向分别是π/2 -π/2,而不是π -π!!!

多元积分学

  1. 初始条件是平面（2维）则用定积分应用相关知识（面积，体积，曲线弧长…），是空间（3维）则用多元积分（三重、曲线、曲面…）。
  2. 第一类积分只有直接法.
  3. 第二类曲线：直接法（参数方程）、格林、斯托克斯
  4. 第二类曲面：直接(法向量)、高斯

三重积分

  1. 计算三重积分：
    1. 直角坐标下计算
    2. 柱坐标下计算
    3. 球坐标下计算
    4. 奇偶性和对称性
      1. 轮换对称性只看积分域，此时被积函数加减随便换，乘除按顺序换
  2. 易错点：椭球一般先二后一，分别对x、y、z分开计算，截得椭圆面积Πa‘b’，a‘b’非原来的ab
  3. 易错点：极坐标系下φ是和z轴的夹角
  4. 易错点：交换积分次序时，被积函数里没有谁，先积谁

曲线积分

  1. 弧长曲线积分
    1. 直接法
    2. 奇偶性和对称性
  2. 坐标曲线积分
    1. 直接法
    2. 格林公式
    3. 计算先看L是否闭区间，是则格林，否则看是否路径无关，是则换路径或原函数，否则直接或补线格林
    4. 两类线积分的联系
    5. 空间曲线
  3. 易错点：路径无关公式所换的路径与原路径围成的闭区域不能有无意义的点！！！但可以提前挖掉
  4. 易错点：斯托克斯公式法向量（单位余弦）的求法
  5. 易错点：某个平面区域的面积S，其在某坐标面上的投影面积D=S*对应单位余弦

曲面积分

  1. 对面积的面积分
    1. 直接法直接法
    2. 奇偶性和轮转对称性
  2. 对坐标的面积分
    1. 直接法直接法
    2. 高斯公式高斯公式
  3. 两类面积分的联系两类面积分的联系

场论初步

  1. 方向导数方向导数
    • 偏导 点乘 单位向量
  2. 梯度梯度
  3. 散度散度
    1. 梯度分别对x,y,z求偏导的和
  4. 旋度旋度

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四号绿: <font color=green size=4></font>
四号红: <font color=red size=4></font>
红:    <font color=red></font>
绿:    <font color=green></font>
蓝:    <font color=blue></font>

分割线:  

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拼图
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便签：  
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