¶前言

此页面公式渲染器由mathjax更改为katex。katex测试： $A{A^*} = E|A|$

测试katex：

尚不熟悉考点：

副对角线三角行列式的值
负对角线元素要留心！（分块、伴随…）
区分矩阵加乘法（对应元素）与行列式加乘法（对应某一行列）
分块矩阵的逆

¶行列式、矩阵

¶行列式

证|A| = 0
爪形行列式：利用2、3、4…行轮流最第一行进行处理
三对角行列式：
- 法1：利用2、3、4…行轮流最第一行进行处理（化成三角行列式）
- 法2：按行/列展开用递推公式
数学归纳法
- 法一:
  - 验证n=1时,命题正确;
  - 设n=k时,假设结论;
  - 验证n=k+1时,假设依然成立.
- 法二:
  - 验证n=1,n=2;
  - 设n<k时,成立;
  - 验证n=k时,成立.
- 归纳法的选择
范德蒙行列式：例1
某一行代数余子式或余子式的和就等于用1替换掉那一行,然后计算行列式，例1

¶矩阵

分块矩阵：
- 分块矩阵划分要匹配!!!
- 只要划分得当，就把分块当初元素计算就行（除逆、伴随相关）
等价矩阵：A经过初等变换变为B，A等价B
转置矩阵性质：
行（列）向量的重要性质（重要！！！）： ${\alpha ^T}\beta = \beta {\alpha ^T} = tr(\alpha {\beta ^T})$ $α^{T} β = β α^{T} = t r (α β^{T})$ ，一般用来计算 ${(\alpha {\beta ^T})^n}$ $(α β^{T})^{n}$
- 例1
伴随矩阵：
- 伴随矩阵是转置排列的
- 对于二阶矩阵：主对角线互换、副对角线变号
- $A{A^*} = E|A|$
- 某个元素乘上不是其对应的那个代数余子式,值为0
逆矩阵（重要！！！）：
- 性质：
- 求逆矩阵：伴随矩阵法、增广矩阵法
矩阵中“*”、“^k”、“T”均可以两两替换,其中只有“*”不能恢复,即 ${({A^ * })^ * } = |A{|^{n - 2}}A{\rm{\;}}{(kA)^ * } = {k^{n - 1}}{A^ * }$
【题型】证明抽象矩阵可逆并求逆矩阵（求谁提取谁）：
1. 例1
2. 例2
3. 例3
【题型】A的伴随和A的逆矩阵相关（死守AA^(*) = |A|A^(-1)）：
1. 例1
2. 抽象型，例2
矩阵及其秩（A、B中有一个可逆，r(AB)的值等于另一个的秩）：
$\eqalign{ & r(AB) \le \min (r(A),r(B)) \cr & r(A + B) \le r(A) + r(B) \cr & r(A,B) \le r(A) + r(B) \cr & r(A,B) \ge \max (r(A),r(B)) \cr & AB = 0 \Rightarrow r(A) + r(B) \le n \cr} $
方阵A的秩为r(A),则必有n-r(A)个0特征值
正交矩阵: $A^TA=E$
即使不是方阵也行,对于"|AB|=E"求B: $\begin{bmatrix} A | E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E | B \end{bmatrix}$

¶线性方程组、向量

¶向量

两个向量组可以互相表出,即等价
相关性七大定理
1. 【充要条件】（相关）至少一个向量可由其它向量线性表出
  1. 逆否【充要条件】：（无关）任何一个向量都不能由其它向量线性表出
2. 线性无关，加一个β线性相关，则β可由α唯一线性表出
3. 以少表多，多的相关（被表示的线性无关，则一定是少）
  1. 被表示的秩不大
4. 【充要条件】列向量组（线性相关），其齐次方程组一定有非零解
5. β可由α线性表示 ↔ 非齐次方程组αX=β有非零解 ↔ r(α)=r(α^+)
6. 部分相关，整体必相关
7. 原来无关，延长必无关；原来相关，缩短必相关。
正交矩阵的各个行向量是单位向量
例题:
1. 例1
2. 例2
  - AB=0可推出r(A)+r(B)≤nn是A的列数量、B的行数量，又A与B的秩都至少为1，所以都不满秩，即1<r(A)<n,1<r(B)<n,所以A列相关、B行相关
3. 例3
  - 只要A不是0矩阵就能用来两端相乘判别是否无关
向量空间（重要！！！）：
- 向量空间类比空间直角坐标系，基就是x、y、z轴上的单位向量，3维空间
- 基变换：类比成将空间直角坐标系转化为空间极坐标系
- 正交基（基向量两两正交）和规范正交基（基向量两两正交且都是单位向量）
- 例1

¶线性方程组

克拉默法则
特征值等于0所对应的特征向量是基础解系
方程组解的情况:
- 齐次有解(AX = 0):
  - 必有0解
  - 若r(A)<n,即约束条件少于未知数,则有非0解
- 非齐次有解(AX = b):
  - 只有r(A) = r(A+),即矩阵A的秩等于增广矩阵(加上b)的秩,才会有解
  - r(A) = r(A+) < n,约束条件少了,有无穷多解.
  - r(A) = r(A+) = n,约束条件刚刚好,只有唯一解.
- 约束条件多了不一定有用,但少了一定会造成解变多.
重要解的性质：
- A^(n+1)X=0的解必是A^nX=0的解
- 只要有|A|=0，即 $AA^* = |A|E = 0$ ，就有 $AA^*$ 是AX=0的解
- AB=0 ➡ B的列向量都是A的解
习题
1. 例1
2. 例2
3. 例3
4. 例4
5. 例5
6. 例6
A~∧⇔A有n个线性无关的特征向量
相似矩阵的秩、行列式、特征值、迹相同，相似矩阵的函数依然相同A^m~B^m,A^(-1)~B^(-1),f(A)~f(B)其中m可以是“*”、“-1”、“T”
三角矩阵(主对角线)的特征值就是主对角线上元素.
对角矩阵特征值就是对角线元素
同解方程组
$r(A) = r(B) = r( \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} )$

¶特征值特征向量、二次型

¶特征值特征向量

特征值
- k重特征值至多只有k个线性无关的特征向量
- 不同特征值的特征向量线性无关
- 同一特征值的特征向量的线性组合还是其特征向量
- 特征值乘起来等于行列式、特征值加起来等于迹（主对角线元素和）
- AX=0，则必有0是A的特征值；有几个0特征值，秩就减多少
- 特征值与特征向量
- 例1
相似:
- 充分条件：
- 充要条件：
  - 可对角化：秩为n-λ的重数，也就是说如果矩阵A的特征值是3、3、1，那么必有3E-A的秩是1，这样3E-A才有两个不相关的解
- n个不同特征值必相似于对角阵、实对称矩阵必相似于对角阵
求可逆矩阵P和相似矩阵∧
1. 求特征值
2. 对应特征向量
  - 重根对应的特征向量可能相关,也可能不相关,但若相关,则不能相似对角化
  - 所以可以相似对角化的矩阵其重根对应特征向量必然无关,比如说3阶矩阵 $λ_1=3,λ_2=3,λ_1$ ,则特征值3对应的 $|λE-A|$ 必然有两个线性无关向量,只有一个基础解系
3. 可逆矩阵P就是特征向量组( $α_1,α_2,α_3$ )
4. 特征值按照顺序( $λ_1,λ_2,λ_3$ )排在对角线上就是相似矩阵∧
- 例1
求正交矩阵Q和相似矩阵∧
1. 求特征值
2. 对应特征向量
3. 将α特征向量组正交化和单位化(如果原矩阵A是实对称,不同特征值对应特征向量已经正交,只需要管相同特征值对于特征向量即可)
  - 施密特正交化
4. 特征值排列成相似矩阵∧
实对称矩阵
- 不同特征值的特征向量一定正交,相同特征值对应向量可能正交可能无关
  - 普通矩阵不同特征值对应特征向量是线性无关
  - 普通矩阵相同特征值对应特征向量可能相关可能无关
- 必有相似对角阵,且可用正交矩阵Q相似对角化
- 例1

¶二次型

二次型矩阵就是实对称矩阵，所以其正交变换和上一章一样，只不过多了一步
1. 求特征值
2. 对应特征向量
3. 将α特征向量组正交化和单位化
4. 特征值排列成相似矩阵∧
5. 得到的∧就是标准型矩阵
  - 根据题目要求化规范型
配方法求可逆线性变换（求可逆矩阵P^-1或Q^-1）：
1. 直接将某一平方项（ $x_1^2,x_2^2,\ldots,x_n^2$ ）与其混合项组成一个完全平方项，配完即可，例如
  $\begin{aligned} f(x) & = x_1^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 - x_2^2 - 2x_2x_3 - x_3^2 \\ \\& = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2x_2^2 - 4x_2x_3 - 2x_3^2 \\ \\& = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_2 + x_3)^2 + 4x_2x_3 - 4x_2x_3 \\ \\& = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_2 + x_3)^2 \end{aligned}$
2. 得到 $Y=DX$ ,D即上面的系数矩阵,于是有 $X=D^{-1}Y$ ,D的逆就是所求
- 配方法得到的∧的对角线元素不一定是特征值,而寻常方法得到的一定是特征值
- 例1
合同
- 现在对于实对称矩阵A有 $C^TAC = B \, \And \, P^-1AP = B$ ,P和C的交集就是C是正交矩阵,则：
- 性质：
  - 合同矩阵 ↔ A与B的正负惯性指数相同
  - A与B合同，则A逆与B逆、A转置与B转置也合同
  - 实对称矩阵相似必合同
  - 合同秩相等
正定二次型 $x^TAx$ $x^{T} A x$ (充要条件):
- 正惯性系数为n,即系数全正
- 存在可逆矩阵D,使得 $A = D^TD$
- 特征值全大于0(普通方法求出∧对角线就是特征值)
- 顺序主子式全大于0
- 例1
- 例2
例1

方块矩阵需保证主对角线或副对角线上的小矩阵是方的

¶tool

四号绿: <font color=green size=4></font>
四号红: <font color=red size=4></font>
红:    <font color=red></font> 
绿:    <font color=green></font>
蓝:    <font color=blue></font>

分割线:  

----------------------------

表格:  
|        |      |       |
| ----- | --:  | :----: |
|       |       |       |
|       |       |       |
|       |       |       |

便签：  
{% note success %}  

{% endnote %}

公式：
# 矩阵符号
- 矩阵中括号:\begin{bmatrix} \end{bmatrix}
# 逻辑符号
- 小于等于 \le
- 大于等于 \ge
- 右箭头 \Rightarrow
- 相似~ \sim
# 积分
- -N到N,e^x的积分 \int_{-N}^{N} e^x\, {\rm d}x
# 其它
- 省略号 \ldots

链接:  
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