¶古典概型

¶一维变量及其分布

F(x)能作分布函数的充分必要条件
- 非降性;
- 有界性,F(+∞)=1,F(-∞)=0;
- 右连续,F(x) = F(x+0);
伯努利分布可加性: x1与x2独立,$$x_1 ~ B(i_1,p),x_2 ~ B(i_2,p) \Rightarrow x_1+x_2 ~ B(i_1+i_2,p)$$
泊松分布可加性: x1与x2独立,$$x_1 ~ P(λ_1),x_2 ~ P(λ_2) \Rightarrow x_1+x_2 ~ P(λ_1+λ_2)$$

给联合,求边缘:
1. 对$$(+∞ \to -∞)$$求积分
2. 画出积分区域
3. 求x积y,求y积x
4. 在积分区域内求导,其它0
已知边缘、条件分布等相关条件，求联合用乘法公式：$$f(x,y)=f_{x|y}(x|y)f_x(x)$$
求X±Y、XY、X/Y
- 分布函数法
  1. 将z视为常数，画出积分区域（积域含z）
  2. 根据不同z的取值计算积分，即得到F(Z)
- 卷积公式法：
  1. X+Y：$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} f(x,z-x), {\rm d}x$$或者$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} f(z-y,y), {\rm d}y$$
  2. X-Y：$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} f(x,x-z), {\rm d}x$$或者$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} f(z+y,y), {\rm d}y$$
  3. XY：$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} |y|f(yz,y), {\rm d}y$$
  4. X/Y：$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} \frac{1}{|y|}f(z/y,y), {\rm d}y$$或者$$f_z(z)=\int_{-∞}^{+∞} \frac{1}{|x|}f(y,z/x), {\rm d}x$$
X,Y独立$$X~N(μ_1,σ_1^2),Y~N(μ_2,σ_2^2) \Rightarrow (X±Y)~Y~N(μ_1±μ_2,σ_1^2±σ_2^2)$$

$E(XY)=E(X)E(Y)-cov(X,Y)$
多维随机变量的均值:$$E(Z)=\int_{-∞}^{+∞} \int_{-∞}^{+∞} z(x,y)f(x,y), {\rm d}x {\rm d}y$$
一些公式
1. $D(X) = E(X-EX)^2 = EX^2-(EX)^2$
2. $D(X±Y) = D(X) + D(Y) ± 2cov(X,Y)$
3. $cov(X,Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] = E(XY) - EXEY$
4. $cov(X,X) = DX$
5. $cov(aX+b,cY+d) = (ac)cov(X,Y)$
6. $cov(X+Y,Z) = cov(X,Z)+cov(Y,Z)$
切比雪夫不等式估计概率(D(X)存在):$$P{|X-EX|≥ε} ≤ \frac{D(X)}{ε^2}$$
- 独立抽样X,其均值EX,则X与EX的差值大于某个极小数的概率小于D(X)/(ε^2)